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Lo correcto es te pido que sigas protegiéndolo y cuidándolo. Esto se debe a que cada verbo en gerundio (protegiendo y cuidando) admite un objeto directo, pero no necesariamente con el mismo referente. Por ejemplo, se puede decir te pido que sigas protegiendo a la población y cuidando a mi hijo ; en este caso, los pronombres que sustituyen a los objetos correspondientes son distintos: te pido que sigas protegiéndola y cuidándolo. Como se puede apreciar, la coordinación de los dos verbos no implica que el objeto directo de una sea el mismo que el de la otra.

Por otra parte, si se omite el pronombre en el primer verbo (te pido que sigas protegiendo y cuidándolo) , se conduce a una lectura diferente y más general, en la que la protección de alguien puede ir dirigida a una o más personas, y no necesariamente a aquella que funciona como objeto del segundo verbo (cuidándolo).